早在1893年，美国科学家TESLA N利用无线电能传输原理，在没有任何导线相连接的情况下点亮了磷光照明灯[1]，这是人类在无线能量传输初期的重要尝试，同时也为人类向无线能量传输方向的发展提供了借鉴意义。一个多世纪以来国内外的学者对该技术进行长期、大量的研究，在近距离和远距离无线电能传输理论和应用层次上已经取得了很大的进展，但是在中等距离(传输距离一般为传输线圈直径的几倍)的传输范围一直没有突破性进展。直到2007年，MIT的SOLJACIC M教授领导的小组利用电磁谐振原理，成功地在实验室实现了近场内电能的中距离无线传输[2]。该技术的提出为中程距离无线电能传输技术的发展开辟了一个崭新的方向。

目前，谐振式无线能量传输已成为学术界和产业界共同关注的热点。在实际应用中，随着用电设备的种类和数量的增加，特别是移动电子产品的不断增加，利用单一电源给多个负载进行无线充电具有广阔的市场前景。参考文献[3]研究了多个接收线圈的情况，但忽略了线圈间的电感交叉耦合影响。而多接收线圈的引入会带来一些新的问题，如接收线圈之间的交叉耦合效应会扰动系统的工作状态，结果不但使系统的分析和设计复杂化，还会影响系统在谐振频率点处的传输效率与传输功率。因此有必要采取方法来补偿交叉耦合的影响。

为此，本文从单电源、双负载无线充电系统的等效电路模型出发，详细研究和分析了三谐振线圈系统的交叉耦合对各线圈电流和系统的传输功率、效率的影响。在此基础上，提出了一种在回路中附加电抗来补偿交叉耦合效应的方法，并通过仿真与实验证明了这种补偿的可行性和有效性。

图1所示为两个负载线圈的磁谐振耦合无线充电系统等效电路。RS、RL1、RL2为电源等效内阻以及两负载电阻，R1、R2、R3是各回路的损耗电阻，包括线圈和电容上的耗散电阻；M12、M13、M23分别为两两线圈之间的互感；L1、L2、L3与C1、C2、C3分别为源端和接收端的电感和调谐电容，并且满足ω与驱动源的角频率一致。

根据基尔霍夫定律，可得描述电路的方程：

其中I=[I1I2I3]T，I1、I2、I3分别为3个耦合线圈上的电流，V=[VS0 0]T为电压列向量。当系统发生谐振时，即系统工作在谐振频率点ω0时，满足(n=1，2，3)。Z为电路的阻抗矩阵，如式(2)所示：

分别为发射端、接收负载1和接收负载2端的电抗。电感耦合系数：

其中k23是两接收线圈间的交叉耦合系数。两负载所获得的平均传输功率定义为：

为了控制两接收线圈的功率分配比，除了可以调节两接收线圈与发射线圈间的距离比之外，还能通过调整线圈间的负载阻抗比来完成。由参考文献[4]可知，两负载端在源端的等效阻抗分别为：

当电源内阻抗和负载等效阻抗共轭匹配时，负载能获得最大的传输功率，因此负载获得最大功率的条件是：

上文中忽略了交叉耦合效应，然而在实际的电路中，交叉耦合系数往往并不为零，而两负载之间的交叉耦合有可能影响甚至恶化系统整体的传输性能。为方便分析，本文仅仅考虑收发线圈在同轴且两负载线圈镜像的情况。根据式(1)～式(5)，利用数值方法，给出了考虑交叉耦合和不考虑交叉耦合情况下系统的传输功率及传输效率数值解和三线圈各回路的电流矢量图。计算中取RL1=RL2=RS=50 Ω，R1=R2=R2=1 Ω，f=4.6 MHz，将以上取值代入式(9)求得系统处于最佳工作状态时的耦合系数为k12=k13=0.122，此时由诺依曼公式可以算出两负载线圈之间的交叉耦合系数k23约为0.1，并与k23=0时系统的传输功率、传输效率以及三线圈电流矢量图进行对比，如图2和图3所示。

由图2可知，若k23=0，则系统的输出功率和效率极值点均在谐振频率点ω0处；若k23=0.1，则不仅会造成系统传输功率极值点产生漂移，还会导致系统在谐振频率ω0处传输功率和效率的降低。

图3中给出了k23=0和k23=0.1两种情况下三线圈中的电流矢量图。图中空心圆圈、实心圆圈和箭头分别代表ω/ω0=0.92、1.08和1时的电流矢量。若不考虑交叉耦合效应，在谐振频率ω0处，发射线圈的电流与电源电压同相，两个接收线圈上的电流相位和幅值都相同，且比发射线圈滞后90°。若考虑交叉耦合效应，在谐振频率ω0处，发射线圈电流与电源电压不再同相，两负载线圈电流滞后发射线圈大于90°，且电流I2、I3幅值略有减小。

为了克服交叉耦合对系统传输性能的不利影响，本文提出一种利用附加电抗来弥补交叉耦合效应的方法——电抗补偿法。其原理如图4所示，为补偿非相邻线圈的交叉耦合效应而附加的电抗元件(电感或电容)。

在各回路串联了补偿电抗后，希望在谐振角频率ω0处，各回路电流的相位和幅值大小与忽略交叉耦合时一致。为此，分别写出ω=ω0并考虑交叉耦合且有补偿电抗和忽略交叉耦合但无补偿电抗时的电流回路方程，如式(10)、式(11)所示。因为两系统工作在谐振频率点ω0时，均满足(n=1，2，3),即有X1=X2=X3=0。

采用与1.3节相同的数据RL1=RL2=RS=50 Ω，R1=R2=R3=1 Ω，f=4.6 MHz，计算得到补偿电抗29 Ω。用数值计算方法仿真以上两系统补偿前后的电流幅值图，如图5所示。

图5中，空心圆圈、实心圆圈和箭头分别代表ω/ω0=0.92、1.08和1时的电流矢量。可以看出，电抗补偿后各回路的电流矢量图与无交叉耦合时的电流矢量图恰好完全重合，即补偿前后三线圈电流的幅值大小相等、相位相同，表明回路中加入补偿电抗后能彻底抵消交叉耦合带来的影响，从而也说明了这种补偿方法的理论可行性。

前面讨论中使用的补偿电抗是频率无关器件，现实中可用电感或者电容来实现。虽然电感或电容的电抗值与频率有关，但考虑到谐振式无线能量传输系统是窄带工作的，因此影响不大。

假设补偿电抗(即分别用电感来补偿系统)时，三回路的电抗部分均可以写成如下形式：

式(14)表示原来的回路电感应修正为，即给原有的线圈串联一个电感量为的电感。对于磁谐振耦合无线能量传输系统，回路中补偿电感的引入有可能会明显扰动系统原有的磁场的分布，从而影响线圈原有的耦合状态。为避免这一不利影响，本文采用电容补偿方式。

当采用电容补偿时，根据式(15)，只需将原回路可调电容调整为即可达到目的。

实验中用到的测试平台为EE1640C系列函数信号发生器和GDS-2202数字存储示波器。实验中用到的3个线圈都是由线径1.5 mm的漆包铜线绕制5圈而成，线圈直径16 cm,电感值约为10 μH,可调谐电容为120 pF，工作频率为4.6 MHz，三线圈依次按照接收线圈1、发射线圈、接收线圈2的顺序同轴等间距放置，相邻线圈之间距离为5 cm，则两负载线圈之间的距离为10 cm，由诺依曼公式可以算出此时交叉耦合系数约为0.1，函数信号发生器的输出阻抗RS=RL1=RL2=50 Ω。图6为三线圈发生谐振时的双负载电压波形。

从图6中可以看出，两个接收线圈的电压基本一致，说明发射线圈传输到它们的功率是相同的，且试验中发现，此时三线圈发生谐振，系统工作在最佳传输状态，这也与式（7）的理论分析一致。

实验中采用电容补偿，由式(13)求得三线圈的补偿电容分别为则由式(15)可得出补偿后三线圈的可调谐电容分别为120 pF、110 pF、110 pF，此时三线圈同轴等间距5 cm放置时的双负载电压波形如图7所示。

从图7中可以看出，补偿后两负载电压仍基本一样，但是较未补偿前电压幅值有明显提升，且实验中发现，此时效率是最高的。三线圈空间位置不变，将系统的工作频率分别调整为满足ω/ω0=0.8、0.85、0.9、0.95、1.0、1.05、1.1、1.15、1.2时，系统补偿前后的传输功率、效率以及两负载端的电压幅值如表1所示。

将以上实验测量结果值在数值仿真解曲线图中做出标注，如图8所示。

从图8的数值仿真曲线中可以发现，电容补偿后系统的传输功率、效率曲线与k23=0时系统的传输功率、效率曲线完全重合。将实验测量结果值（表1）在数值解曲线中标注后可以看出，实验测量结果值在各测试点处与数值仿真解基本一致，而且实验中发现，在谐振频率点4.6 MHz左右处系统所获得的传输功率、效率也达到最大值，两负载端的传输功率最大为63 mW，此时传输效率达到96 %左右。因此，数值解和实验测量值相比较的一致性充分说明本文所提出电抗补偿方法的可行性和有效性。

对于两个负载的谐振耦合式无线能量传输系统，两负载间的交叉耦合效应会对系统带来一些不利的影响，具体表现在两负载线圈的电流幅值明显减小，电流相位发生偏离，系统的传输功率、效率明显降低。通过在电路中附加电容补偿的方法能有效地抵消交叉耦合效应带来的影响。从仿真和实验的结果来看，经电容补偿后，无论是负载端电流幅值还是系统传输功率、效率都与无交叉耦合时几乎相同，很好地补偿了交叉耦合对系统传输性能的影响。本文分析和实验中采用的是相同的收发线圈而且是同轴等间距放置的情况，不失一般性，这种方法对于多个不同尺寸的线圈以及不同的线圈空间位置都具有指导意义和借鉴价值。

[1] 赵争鸣，张艺明，陈凯楠.磁耦合谐振式无线电能传输技术新进展[J].中国电机工程学报，2013，33(3)：1-13.

[2] SOLJACJC M，KURS A，KARALIS A，et al.Wireless power transfer via strongly coupledmagnetic resonances[J].Science，2007，317(6)：83-85.

[3] KURS A，MOFFATT R，SOLJACIC M.Simultaneous midrange power transfer to multiple devices[J].Applied Physics Letters，2010，96(4)：044102.

[4] 刘好．基于WiTricity技术的无线功率传输的匹配电路方案设计[D]．南昌：南昌大学，2012.