1 OFDM系统中峰均比的定义

一个OFDM符号是由多个独立的经过调制的子载波信号相加而成，在某个时刻，若多个子载波以同一个方向进行累加时，就会产生比较高的峰均功率比(Peak-to-Average Power Ratio,PAPR)，简称峰均比。对于包含N个子信道的OFDM系统来说，当N个子信号都以相同的相位求和时，所得到的信号的峰值功率就会是平均功率的N倍。如图1所示，在这个例子里，峰均功率是平均功率的16倍，其中所有子载波都受到相同数据符号的调制。

我们定义峰均比为OFDM的峰值功率和其平均功率之比，即：

其中，xn表示在OFDM系统中经过IFFT变换以后得到的输出信号。基带信号的峰均比可以表示为PART=10lgN，当N=256时，PAPR=24dB，当然这只是一个极端情况，OFDM系统内的峰均比通常不会达到这一数值。

我们还用峰值系数(crest factor)来描述信号的峰值变化，该参数定义为最大信号值与方均根值之比：

2 峰均比的性能衡量——CCDF函数

对于包含N个子载波的OFDM系统来说，其中经过IFT计算得到的功率归一化的复基带信号是：

其中，Xk表示第k个子载波上的调制符号。对于OPSK来说，xk∈{1，-1，j，-j}。根据中心极限定理可知，只要子载波个数N足够大，就可以判断x(t)的实部和虚部都将遵循高斯分布，其均值为零，方差为0．5(实部和虚部各占整个信号功率的一半)。因此，可以得知，OFDM符号的幅值r服从瑞利分布，而其功率分布则要服从两个自由度的中心耽分布，其中，均值为零，方差为1，由于自由度为二的中心x2，分布的概率密度函数为ppower(y)=e-y，因此，可以计算得到其累积分布函数(CDF，Cumulative Distribution Function)为：

当然，也可以从另一个角度来衡量OFDM系统的PAPR分布，即计算峰均比超过某一个门限Z的概率，得到互补累计分布函数CCDF：

图2是不同N数条件下，CCDF的理论曲线图。从图中可以看出，在给定PAPR门限值的条件下，N越大，出现高于门限值的概率也越大。

在随后的讨论中，一般都采用CCDF来衡量OFDM系统内的PAPR分布。3 国内外对OFDM系统峰均比抑制的研究现状

峰均比已成为OFDM技术研究的热点之一，纵观国内外，人们已提出了大量的解决方案，主要分为这两条途径：一是提高功率放大器的性能，二是降低信号的峰均比。为了使高峰均比信号无失真地发射出去，功率放大器需要具有高度的线性和很大的回退(Back-off)，但是这样的放大器功率效率很低。直流偏转(Do Bias)方案可以提高放大器的功率效率，而线性化和预失真技术能通过改进放大器的线性而减小放大器造成的非线性失真，以及改进接收端的解码性能，但是，这些技术并不能从根本上解决多载波信号的高PAPR给放大器带来的难题。而降低信号的PAPR可以说是从本质上来解决多载波系统的高PAPR问题，目前，研究者已经提出了许多方案，可以大致归为信号预畸变、编码技术和扰码三类。

预畸变技术是最早采用的方法，由于较大峰值出现的概率非常小，因此，预畸变技术是一种非常直接和有效的降低PAPR的方法，但是它将导致严重的带内干扰和带外噪声，从而降低整个系统的误码性能和频谱效率。编码类技术降PAPR为线性过程，它不会使信号产生畸变，因此没有限幅类技术的缺点，但编码类技术的计算复杂度非常高，编解码都比较麻烦，而且这类技术的信息速率降低很快，因此，只适用于子载波数比较少的情况；扰码技术能有效降低信号的PAPR，其缺点也是计算复杂度太大，但到目前为止，已有很多有效的方法来减少计算的复杂度。因此，在这三类技术中，扰码技术最有希望解决OFDM中的PAPR问题。下面将对这三类技术进行详细的介绍。

3．1 信号预畸变技术

信号预畸变技术是最简单也是最直接的降低OFDM系统中PAPR的方法。在信号被送到放大器之前，首先经过非线性处理，对有较大峰值功率的信号进行预畸变，使其不会超出放大器的动态变化范围，从而避免较大PAPR的出现。最常用的信号预畸变技术包括限幅加窗技术和压缩扩展技术。

3．1．1 限幅技术

限幅技术就是信号在经过非线性部件之前进行限幅，使得峰值信号低于所期望的最大电平值。尽管限幅方法十分简单，但也会给OFDM系统带来相应的一些问题：首先，对OFDM符号的幅度进行畸变，会对系统造成自身的于扰，从而导致系统的误码率性能降低。其次，OFDM信号的非线性畸变会导致带外辐射功率的增加，因为限幅的过程是将OFDM符号乘以一个矩形滤波器，将高于某个幅度的波形削平，因此限幅后的带宽是由两者的带宽共同决定的。为了克服矩形窗函数所造成的带外辐射过大的问题，可以利用其它的非矩形窗函数，例如Gaussian窗、Co-sine窗、Kaiser窗以及Hamming窗等。总的来说，选择窗函数的原则为：频谱特性要好，不能在时域内过长以避免对更多的时域采样信号造成影响。

3．1．2 压扩变换技术

预畸变减小PAPR的压扩变换(C变换)技术的主要思想是：把大功率发射信号进行压缩，而把小功率信号进行放大，从而使发射信号的平均功率相对保持不变，这样不但可以减小系统的PAPR，而且还可以提高系统的抗干扰能力。在发射端对信号进行压扩，而在接收端要实施逆操作，其优点是减小PAPR，增强小功率信号抗干扰的能力。C变换的基本过程如图3所示。

OFDM系统输出符号的复基带信号可以表示为：

其中T表示OFDM信号周期长度，k表示一个符号周期内第k个采样值，n表示时域内的第n个OFDM符号。g(t)表示满足Nyquist脉冲滤波器的冲击响应，Sn，k表示经过变换的第n个OFDM符号中的第k个采样值，即Sn,k=C{xn,k}，其中xn,k表示经过IFFT变换后的OFDM信号，C{．}表示压缩变换，并且这种变换满足以下两个条件：

(1)当|x|≤，|C{X}|≥|x|；否则，|C{X}|≤|x|，其中m表示C变化的转折点；

(2)满足E{|X|2}≈E{|C{x}|2}，即保持变换前后的平均功率大致相等。

由此可以看到，若能适当地选择C变换的形式以及转折点m，就可以显著地改善PAPR性能，并且没有太多增加系统的复杂度。需要注意的是，如果平均幅值等于C变换的转折点，并且C变换能够满足关于转折点呈现奇对称，就可以保证发送信号的平均功率经过C变换后基本保持不变。为满足上面的要求，C变换可以用下面的公式表示：

其中，xn,k表示OFDM信号xn,k的平均幅值，也就是C变换的转折点ν一般取小于5，在接收端可以对信号rn，k实施C逆变换，即

其中V’表示接收信号rn,k的平均幅值。图4给出了利用C变换所得到的OFDM系统的CCDF与PAPR的示意图：

3．2 扰码技术

这类技术的基本思想并不是要降低信号幅度的最大值，而是降低峰值出现的概率。它是通过对原OFDM符号作线形分割和线形交换，以减少信号峰值出现的概率，优化子信道的载波相位以寻找能得到最低PAPR的相位组合。一般的模式是在发送端对每一个OFDM符号，根据某些规则产生多个候选的时域波形，并计算每一波形的PAPR，最终传输PAPR最小的那一个。这种方法虽然并不能保证所有传输信号的幅度都小于门限值，但是却大大降低了峰值出现的概率，也就降低了限幅噪声对系统带来的不利影响。它在结构上容易实现，应用灵活，是目前最具应用潜力也是最为热门的方案。这里主要介绍选择性映射(SLM)和部分传输序列方法(PTS)两种方法。

3．2．1 选择性映射

OFDM系统发射机内的信号可以表示为：xk=IFFT[Xn]，(n,k=0，…，N-1)。假设存在M个不同的、长度为N的随机相位序列矢量(Pμ=p0(μ)，…，pN-1μ)，其中(μ=0，…，M-1)，pi(μ)=exp(jφi(μ))，φi(μ)在[0，2π]之内均匀分布。可以利用这朋个相位矢量分别与IFFT的输入序列x进行点乘，则可以得到M个不同的输出序列X(μ)间，即：

其中(·)表示向量之间的点乘。然后对所得到的M个序列X(μ)分别实施IFFT计算，相应得到M个不同的输出序列X(μ)=(X0(μ)，…，XN-1(μ))。最后在给定PAPR门限值的条件下，从这个M个时域信号序列内选择PAPR性能最好的用于传输。

SLM方法的原理框图如图5所示。

设峰均比的门限值为PAPR0，则原始OFDM序列的PAPR超过门限值的概率定义为Pr{PAPR>PAPR0}；而这M个序列x(μ)，(μ=0，…，M-1)的PAPR都超过门限值的概率就会变为[PT{PAPR>PAPR0}]M，根据式(5)可以计算出SLM-OFDM系统内PAPR的CCDF为：

其中M=1时，就是原始OFDM系统PAPR分布的CCDF。图6表示了子载波数为128时，不同肘取值下，OFDM系统采用SLM算法PAPR的CCDF曲线。

这种算法的缺点是需要额外计算M-1组的IFFT运算，且接收机必须知道选择的相位。

3．2．2 部分传输序列方法(PTS)

PTS是另外一种常用的减小OFDM系统PAPR的方法，其主要思想为将输入数据符号分成若干组，然后再合并这些分组，以此来减小以PA-PR。

首先利用向量来定义数据符号X=(X0，X1，…，XN-1)，然后把向量X割成V组，分别由(Xv,V=1，2，…，V}来表示，其分割方法可以有多种。假设每个分组中所包含的N数是相同的，然后将这阶分组按照如下的方法组合起来：

其中，{bv,V=1，2，…，V}是加权系数，且满足bv=exp(jφv)以及φv∈[0，2π]，这些被称为辅助信息(Side Information)。之后再对X’进行IFFT变换，得到x’=IFFT{X’}。再根据公式(11)及参考IFFT变换的线性，利用V个单独的IFFT变换，对各个分组进行计算，最终得到下式：

其中引入了V个部分发送序列xv=IFFT{Xv}。可以通过适当地选择辅助加权系数(bv,V=1，2，…，V}，从而使上式的峰值信号到达最佳。

为使OFDM系统内的PAPR最优的最优加权系数应满足下面的公式：

其中，argmin(．)表示函数取得最小值时所使用的判决条件。这样一来，就可以以V-1次IFFT计算为代价，通过寻找最佳的{bv，V=1，2，…，V}系数，使得OFDM系统内的PAPR性能得到较好的改善。图7给出了采用PTS方法的基本框图。

这种算法与SLM有着共同的缺点，那就是大大增加了系统的复杂度，导致计算量也大大增加。可以通过限制bv的取值范围和采用适当的分割办法来降低复杂度。分割方法主要有随即分割、交织分割、相邻分割。图8给出了用随即分割方法在V取不同值时的PTS-OFDM的CCDF曲线：

3．3 编码技术

编码技术的基本思想是利用编码方法来产生PAPR较小的OFDM符号。其核心是运用一种特殊的前向纠错技术除掉高PAPR的OFDM信号。典型的码组有分组码、M序列、格雷(Golay)码和雷德密勒(Reed-Muller)码等。下面对上述的几种方法进行简单的介绍。

(1)分组编码。其基本思想是：在对比特流进行IFFT运算之前，先进行特殊的编码处理(如应用奇偶校验位)，使得输出的比特流经过OFDM调制后具有较低的PAPR。精心设计的分组编码方法不仅可以有效地降低PAPR，同时还可以起到类似于信道编码的作用，使系统具有前向检错和纠错的能力。

(2)M序列。该序列具有良好的自相关性，因此将其作为IFFT的输入，得到的信号就会具有很低的PAPR。用M序列对输入信息进行编码可以将OFDM信号的PAPR限制在5-7dB。

(3)格雷互补序列。把GCS作为IFFT的输入，那么它的输出信号就会有比较低的PAPR值。应用GCS序列的最大优点就是不论子载波数多少，其PAPR至多为3dB。但是，由于随着子载波数的逐渐增多，寻找最佳生成矩阵具有相当高的难度，因此格雷互补序列码并不适用于载波数较大的OFDM系统。

(4)雷德密勒码。一种高效的编码方案，具有一定的纠错性能。利用RM码与GCS码构造新的分组编码，此分组码同时具有GCS和RM码的性能，不仅可将PAPR降至3dB以内，同时还具有良好的纠错检错能力。

应用编码方法降低PAPR的优点是系统相对简单、稳定，且降低PAPR的效果好。但它的缺点也非常明显：一是受编码调制方式的限制，比如分组编码就只能适用于PSK调制方式，而不适用于基于QAM调制方式的OFDM系统；二是受限于子载波数，随着子载波数的增加，计算复杂度增大，系统的吞吐量严重下降，带宽的利用率显著降低等；三是数据的编码速率有所减小，因为大部分的编码方法都要引入一定的冗余信息。

4 小结

OFDM系统具有较大的PAPR，它直接影响着整个系统的运行成本和效率，也是影响OFDM技术在未来移动通信系统中应用的关键因素之一。

本文首先针对OFDM系统内PAPR的定义和它的性能衡量函数(CCDF)进行讨论，然后对降低OFDM系统PAPR问题的3类技术进行分析，包括限幅类技术、扰码技术和编码技术。限幅类技术分析了直接限幅方法和压扩变换技术；扰码类技术介绍了两种具有代表性的技术：选择性映射(SLM)和部分传输序列(PTS)，并分析了各自降PAPR的原理和优缺点；编类码技术简单介绍了它的原理和几种主要的方法。这3类方法都有各自的着眼点和特色，也都存在着缺陷。限幅类技术直接对信号的峰值进行非线性操作，它最直接，最简单。但因为它采用了非线性操作，因此会带来带内噪声和带外干扰，从而降低系统的误码率性能和频谱效率。编码技术利用编码将原来的信息码字映射到一个具有比较好的PAPR特性的传输码集上，从而避开了那些会出现信号峰值的码字。该类技术为线性过程，它不会使信号产生畸变，因此也没有限幅类技术的缺点。但是，编码技术的计算复杂度非常高，编解码都非常麻烦。更重要的是，这类技术的信息速率降低得很快，因此只适用于子载波数比较少的情况。至于扰码类技术，它不像编码技术完全避开信号的峰值，而是着眼于努力使信号峰值出现的概率降低。这类技术采用的方法也为线性过程，因此它不会对信号产生畸变。这类技术能够有效地降低信号的PAPR值，它的缺点也是计算复杂度太大。在实际应用中，应根据系统性能要求和实际需要，选择适合的方法。