这一篇，我们来看看一个单极点的电路，看看极点的存在到底是如何影响了电路对不同频率的小信号的反应。

一个nmos和一个resistor，组成了一个基本的common-source amplifier。暂时忽略Cgs、Cgd等寄生电容造成的高频零极点。这个电路便是一个单极点系统：唯一的极点就在输出Vout那里。当然，还有一个前提就是我们的load capacitor比较大，比如就用1pF好了。输出阻抗Rout等于上面那个resistor和下面的ro并联，嗯，总之就是很简化的一个模型啦！

然后，我们可以根据

得到这个单极点电路的transfer function的波特图：

额，为啥这个波特图长这样子呢？

作者君得想想先……

首先，当小信号频率很低的时候非常小。因此对于低频的信号，transfer function也就约等于DC增益。

然后，因为,在这个频率上

增益变成了，相位下降了45°。

再之后，当小信号的频率变得非常大之后，分母项远大于分子，这个系统对极高频率的信号也就无限衰减了。

等等！为什么大家都说-20dB/dec呢？就是说，为什么超过了极点之后，频率每变大十倍，增益就下降20dB呢？

这个嘛……我们还是回到之前的公式仔细看看：

因为前面这项是个常量，所以后面的这项就决定了单位是20lg的增益下降的速度。比如在上面的图中，假设f3的频率是f2的十倍，那么f3对应的增益大小自然也就比f2少了20dB。

好吧，下降的速度我们算是搞明白了。那到底什么时候，这个单极点的amplifier就完全失灵，完全不能放大输入的小信号了呢？

这样，一个新的频率 unity-gain bandwidth就冒出来了呢。

在这个频率处，这个amplifier的gain下降到了1，也就是20lg1，就是0dB了。

好吧，那这个频率到底是多大呢？

其实，我们就用最基本的线性方程来求解就可以了的。

首先，我们知道，在时，纵坐标大约是20lgAo；然后，我们还知道了斜率是-20dB/dec，嗯，这样不就可以了嘛？

等等！到底怎么算的？

m是一个未知数。

所以我们可以求出，m等于。

因为UBW对应的频率是H(w)等于1，所以我们就可以很容易的得到UBW的大小了：

要不再拿上面的电路试试看？

上面的单极点amplifier，，增益则是

怎么样？是不是就得到了著名的？

感觉还不错吧？

仔细一看，这个UBW的公式里面只有gm和C，跟具体的Rout大小完全没有关系呢！所以，上面那个波特图的DC gain Ao可以因为Rout变大，而变大，但是这个电路的UBW却还是一点都没有变呢！

嗯，写到这里，一个基本的单极点amplifier的频率响应，也就差不多了。

最后，作者君还想强调一下，一定要是小信号才能这样分析啊！

试想一下，如果你的input 电压忽然从0变成了VDD，输出也就差不多从VDD变成了很接近0的一个值。那你试试算它的增益？是不是顶多是1？为啥呢？即使从0到VDD变换的速度可以很慢，也可以很快，增益绝对不会超过1……

因为这是大信号了啊！

不是说好了的吗？上面所有的这些分析，都是基于小信号的啦！大信号就不适用了啦！

那个……到底在哪里区分大信号和小信号呢？

那个，麻烦大家回去看看Razavi第三章49页吧。作者君讲得肯定不如大牛，就不班门弄斧了哈！

不过作者君还是可以告诉大家，这样的图是咋plot出来的(Razavi, p51)：

在Cadence里面，input端放一个vdc (在library : analogLib里面)，把它的DC value设置成一个变量，比如vdc_in好了。然后用DC sweep，设置这个vdc_in的范围，比如从0到VDD（其实这样大的范围没啥意思哈！稍微小一些，细节会比较清楚。）然后plot输出端看到的current除以这个vdc_in，就拿到了上面这个gm的图。其实也差不多是这个单极点电路的增益随着input电压的变换趋势啦。

当然，为了看仔细点，我们还是先定下DC biasing 好了。比如input有个DC的电压，一直固定在0.5V，这个时候看到的output的DC值是0.6V。然后还是跟上面一样，DC sweep一个加在0.5V的input biasing上面的变量，比如从-10mV到10mV。得到的输出电压减去之前的0.6V，然后除以input的变化范围20mV，也就得到了这个电路的DC增益了！

对于一个典型的比较成熟的工艺，比如180nm这样的，一个单级的nmos，它的最大gain差不多能够达到40dB的样子。当然，能不能拿到这个值，跟你的具体DC biasing voltage和上面的resistor大小都是很有关系的。嘿嘿，你们还是自己去试试吧！

总之，只有当一个transistor被bias在合适的DC operation point，它的最大增益效能才能被充分的发挥啊！嗯，如同你让它感觉很舒服，它也就自然能够让你舒服了哈！^_^