数学结合电子信息工程“虚数”直观图解

我一直觉得虚数(imaginary number)很难懂。中学老师说,虚数就是-1的平方根。

可是,什么数的平方等于-1呢?计算器直接显示出错!一直都没有真正的理解和认识虚数。 

在电子信息工程中充斥着虚数,谁能解释,虚数到底是什么?它有什么用?举个高频电子线路中的例子,如下图:

Ic电流超前电压一个角度,IL电压超前电流一个90度,Ic和IL上面有一个点,表示矢量。

bb'输入阻抗Zbb'=600Ω,中心频率f0=83MHz,cc'输出阻抗Zcc'=R4=50Ω(天线),Vbb'=V,求取这里的电感和电容值,使得电路的阻抗匹配。(注:在电子行业中,i 通常用来表示电流,虚数单位用 j来表示。)

解:Ic=V/(R4+1/jXc3),若存在一个数,它的倒数等于它的相反数(或者它的倒数的相反数为其自身),这个数是什么形式?根据这一要求,可以给出方程 -j = (1/j) 。由此得Ic=V/(R4-jXc3)
将上式的上下各乘以R4+jXc3,得Ic=V(R4+jXc3)/[(R4)^2-j^2(Xc3)^2]
因j^2=-1,整理上式最终得Ic=V(R4+jXc3)/[(R4)^2+(Xc3)^2]。下面的推算略啦。 

http://betterexplained.com/articles/a-visual-intuitive-guide-to-imaginary-numbers/有一篇非常棒的文章《虚数的图解》,这是下文的最终出处。读后恍然大悟,使我终生受益,由是感慨教学方式的不同产生迥异的结果。原来虚数这么简单,一点也不奇怪和难懂!

下面我们讲述虚数的理解。

一、什么是虚数?

首先,假设有一根数轴,上面有两个反向的点:+1和-1。

这根数轴的正向部分,可以绕原点旋转。显然,逆时针旋转180度,+1就会变成-1。

这相当于两次逆时针旋转90度。

因此,我们可以得到下面的关系式:

(+1) * (逆时针旋转90度) * (逆时针旋转90度) = (-1)

如果把+1消去,这个式子就变为:

(逆时针旋转90度)^2 = (-1)

将"逆时针旋转90度"记为 i :

i^2 = (-1)

这个式子很眼熟,它就是虚数的定义公式。所以,我们可以知道,虚数 i 就是逆时针旋转90度,i 不是一个数,而是一个旋转量;下图中复数的模=A点到O点的距离,根据勾股定理可得。 

二、复数的定义

既然 i 表示旋转量,我们就可以用 i 表示任何实数的旋转状态。

将实数轴看作横轴,虚数轴看作纵轴,就构成了一个二维平面。旋转到某一个角度的任何正实数,必然唯一对应这个平面中的某个点。

只要确定横坐标和纵坐标,比如( 1 , 1i ),就可以确定某个实数的旋转量(45度)。

数学家用一种特殊的表示方法,表示这个二维坐标:用 + 号把横坐标和纵坐标连接起来。比如,把 ( 1 , 1i ) 表示成 1 + 1i 。这种表示方法就叫做复数(complex number),其中 1 称为实数部,1i 称为虚数部。

为什么要把二维坐标表示成这样呢,下一节告诉你原因。 

三、虚数的作用:加法

虚数的引入,大大方便了涉及到旋转的计算。

比如,物理学需要计算"力的合成"。假定一个力是 3 + i ,另一个力是 1 + 3i ,请问它们的合成力是多少?

根据"平行四边形法则",你马上得到,合成力就是 ( 3 + i ) + ( 1 + 3i ) = ( 4 + 4i )。这就是虚数加法的物理意义。

四、虚数的作用:乘法

如果涉及到旋转角度的改变,处理起来更方便。

比如,一条船的航向是 3 + 4i 。如果该船的航向,逆时针增加45度,请问新航向是多少?

45度的航向就是 1 + i 。计算新航向,只要把这两个航向 3 + 4i 与 1 + i 相乘就可以了(原因在下一节解释):

( 3 + 4i ) * ( 1 + i ) = ( -1 + 7i )

所以,该船的新航向是 -1 + 7i 。

如果航向逆时针增加90度,就更简单了。因为90度的航向就是 i ,所以新航向等于:

( 3 + 4i ) * i = ( -4 + 3i )

这就是虚数乘法的物理意义:改变旋转角度。

五、虚数乘法的数学证明

为什么一个复数改变旋转角度,只要做乘法就可以了?下面就是它的数学证明,实际上很简单。

任何复数 a + bi,都可以改写成旋转半径 r 与横轴夹角 θ 的形式。

假定现有两个复数 a + bi 和 c + di,可以将它们改写如下:

a + bi = r1 * ( cosα + isinα )

c + di = r2 * ( cosβ + isinβ )

 

这两个复数相乘,( a + bi )( c + di ) 就相当于r1 * r2 * ( cosα + isinα ) * ( cosβ + isinβ )

展开后面的乘式,得到cosα * cosβ - sinα * sinβ + i( cosα * sinβ + sinα * cosβ )

根据三角函数公式,上面的式子就等于cos(α+β) + isin(α+β)

所以,( a + bi )( c + di ) = r1 * r2 * ( cos(α+β) + isin(α+β) )

这就证明了,两个复数相乘,就等于旋转半径相乘、旋转角度相加。

永不止步步 发表于12-26 09:48 浏览65212次
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永不止步步
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