引 言

电磁兼容研究非常依赖于现场测试技术,但受种因素所限,测量用电磁天线的频率响应特性并不平坦(如图1所示),因此,并不能简单地从测量数据归算出实际的电、磁场强度. 必须对测量值进行校正才能获取真实的电磁环境评估数据.通常,可把电、磁场天线看成一个"黑匣子",根据其典型的增益曲线(由生产厂家或计量部门提供校准数据或用网络分析仪实际测取),建立等效的频域传递函数,以实现对天线频率特性的补偿.

传统的传递函数辨识法主要有:Levy法、山下法、正交多项式法、PrONy法等.但这些算法往往存在着下述局限性: ①拟合精度差;②所得极点常为不稳定点;③算法的收敛性特别依赖于初始值的选择.近年来,复向量拟合法作为一种有理近似方法,在传递函数拟合领域获得了广泛应用.复向量拟合法是由B.Gustavsen提出的一种针对频域离散数据的稳定、有效的有理逼近方法,先后有学者将其应用到变压器、架空线路以及互感器的频域传递函数建模中,并获得了较满意的结果.该方法也可应用到电磁天线的频域特性建模中.本文提出了一种改进的复数向量拟合法,较传统方法有更高的拟合准确度,可用于高频电磁天线的频域建模.

1 改进的复向量拟合法

由网络理论可知,对单一个单入单出、线性时不变的无源网络,在复频率平面s上,任一给定阶数的传递函数可表示为:

显然,当阶数较高且频带较宽时,式(2)是严重病态的方程组.为此,复向量拟合法将式(1)转换为部分分式形式

式中,a1,a2,…,an,c1,c2,…,cn,d,h为待辨识的参数.其中,留数犮n与极点n为实数或者共轭复数对,d与h为实数.这种方法的突出优点,是将含频率高次幂系数的病态方程组,巧妙地转化为线性的超定方程组,然后求其最小二乘解.

在复向量拟合法的基础上,通过增加导数信息以及将系数矩阵乘以一个对角阵,本文提出了一种改进的复向量拟合法.算法的实现可以分为两步:极点的确定和零点的确定.

1.1 极 点 的 确 定 引 入 一 个 未 知 函 数 σ ( s ) , 并 将 其 与 f ( s ) 相 乘 , 可 得 到 另 一 函 数 , 记 为 σ f ( s ) . σ ( s ) 与 σ f ( s ) 的 有 理 近 似 分 别 如 式 ( 4 ) 与 式 ( 5 ) 所 示

式 中 , f ( s ) 为 实 测 数 据 . 显 然 , 对 于 未 知 参 数 c~1 ,c~2 ,… ,而 言 , 式 ( 7 ) 为 一 线 性 方 程 组 . 式 ( 7 ) 只 是 利 用 了 实 测 的 频 域 数 据 本 身 , 而 对 频 域 数 据 之 间 的 联 系 并 未 体 现 . 导 数 可 反 映 频 域 数 据 的 局 部 变 化 率 , 加 入 此 项 , 理 论 上 可 更 准 确 地 逼 近 被 拟 合 曲 线 的 高 阶 信 息 和 细 节 . 由 式 ( 7 ) 对 s 求 一 阶 导 数 , 可 得

对 原 始 频 域 数 据 的 求 导 , 可 采 用 样 条 函 数 法 来 计 算 , 以 提 高 求 导 的 准 确 性 . 将 各 个 频 率 点 的 测 量 数 据 代 入 式 ( 7 ) 与 式 ( 8 ) , 可 得 到 如 下 的 超 定 线 性 方 程 组

式 中 , M 为 频 率 采 样 点 数 . 当 极 点 为 复 数 时 , 必保 证 留 数 也 以 复 数 形 式 出 现 , 故 需 要 对 系 数 矩 阵 犃 做 出 修 正 . 假设

复 向 量 拟 合 法 在 求 解 超 定 线 性 方 程 组 时 , 一 般 采 用 正 交 变 换 以 及 归 一 化 方 法 来 提 高 数 值 稳 定 性 . 本 文 在 应 用 中 发 现 , 通 过 将 系 数 矩 阵 A 与 一 个 对 角 阵 D相 乘 , 还 可 进 一 步 减 小 条 件 数 , 进 而 提 高 拟 合 精 度 , 即

很 显 然 , 从 式 ( 1 3 ) 可 知 , f (s) 的 极 点 就 是 σ ( s ) 的 零 点 . 因 此 , 通 过 计 算 σ ( s ) 的 零 点 就 可 得 到 f ( s ) 的 极 点 . σ ( s ) 的 零 点 可 通 过 求 取 矩 阵 D 的 特 征 值 来 获 得 , 即

1 .2 留 数 的 确 定 由 1 . 1 节 确 定 待 拟 合 函 数 f ( s ) 的 极 点 后 , 若 将 这 些 极 点 作 为 初 始 极 点 代 入 式 ( 3 ) , 就 可 进 一 步 确 定 f ( s ) 的 留 数 , 即

将 各 个 频 率 测 量 点 数 据 代 入 式 ( 1 5 ) 与 式 ( 1 6 ) , 可 得 到 如 下 的 超 定 线 性 方 程 组

通 过 求 解 超 定 线 性 方 程 组 ( 1 7 ) , 即 可 获 得 f ( s ) 的 留 数 . 至 此 , 待 拟 合 函 数 f ( s ) 被 完 全 确 定

2 数 值 仿 真 与 应 用

为 验 证 本 文 算 法 的 有 效 性 , 任 给 式 ( 1 9 ) 所 示 的 1 0 阶 传 递 函 数 f ( s ) , 将 其 频 域 特 性 作 为 已 知 的 测 量 数 据 , 分 别 应 用 本 文 算 法 和 传 统 复 向 量 拟 合 法 进 行 比 较 分 析

2 . 1 传 递 函 数 阶 数 对 拟 合 准 确 度 的 影 响

设 置 采 样 区 间 为 [ 1 0 ,20 k ] H z , 按 照 对 数 均 分 原 则 在 频 域 内 取 7 0 个 采 样 点 . 用 采 样 点 处 真 实 值 与 拟 合 结 果 的 均 方 根 误 差 来 衡 量 拟 合 准 确 度 . 不 同 目标 传 递 函 数 阶 数 对 拟 合 准 确 度 的 影 响 如 表 1 所 示 .

2 .2 采 样 点 数 对 拟 合 准 确 度 的 影 响

设 置 目 标 传 递 函 数 的 阶 数 为 1 0 阶 , 采 样 区 间 不 变 , 分 别 取 不 同 的 采 样 点 数 , 两 种 方 法 的 拟 合 结 果表平方所 示 . 可 以 看 出 , 本 文 改 进 算 法 的 整 体 拟 合 准 确 度 , 仍 然 优 于 传 统 的 复 向 量 拟 合 法 . 或 者 说 , 采 用 改 进 的 复 向 量 拟 合 法 , 可 在 一 定 程 度 上 降 低 对 频 域 采 样 点 数 的 要 求 . 需 要 指 出 的 是 , 由 于 系 数 矩 阵A 的 行 向 量 数 为2n (n 为 采 样 点 数 ) , 随 着 采 样 点 数 的 增 加 , 系 数 矩 阵 A 的 行 向 量 数 也 会 随 之 增 加 , 方 程 条 件 数 也 会 随 之 增 大 , 这 会 导 致 超 定 线 性 方 程 组 ( 9 ) 与 ( 1 7 ) 的 病 态 程 度 更 为 严 重 , 从 而 对 计 算 精 度 产 生 不 良 的 影 响 . 因 此 , 采 样 点 数 的 增 加 并 不 必 然 带 来 计 算 精 度 的 提 高 .

2 . 3 幅 频 特 性 拟 合 效 果 比 较

设 定 目 标 传 递 函 数 的 阶 数 为 1 0 阶 , 采 样 区 间 不 变 , 采 样 点 数 为 7 0 , 分 别 使 用 本 文 算 法 与 传 统 复 向 量 拟 合 法 对 式 ( 1 9 ) 对 应 的 幅 频 特 性 曲 线 进 行 拟 合 . 两 种 算 法 获 取 的 传 递 函 数 幅 频 特 性 曲 线 如 图平方所 示 . 从 图平方频 域 特 性 的 细 节 处 可 以 看 出 , 本 文 算 法 与 复 向 量 拟 合 法 相 比 , 具 有 更 高 的 拟 合 准 确 度 .

2. 4 应 用 验 证

针 对 图 1 中 实 测 的 磁 场 天 线 系 数 曲 线 , 可 转 换 为 如 图 3 所 示 的 该 磁 场 天 线 的 幅 频 特 性 曲 线 . 在 图 3 中 取 3 0 个 频 域 采 样 点 , 设 定 目 标 传 递 函 数 为 3 阶 , 采 用 本 文 的 改 进 算 法 对 该 频 域 特 性 曲 线 进 行 了 传 递 函 数 拟 合 . 本 文 算 法 的 应 用 对 象 为 复 数 型 的 实 测 数 据 ( 包 括 幅 频 与 相 频 特 性 ) , 而 一 般 天 线 手 册 中 只 提 供 幅 频特 性 . 针 对 这 种 情 况 , 可 采 用 幅 频 特 性 的 平 方 函 数 f | ( s ) |平方进 行 拟 合 , 来 获 取 f ( s ) 的 零 极 点 . 由 f | ( s ) |平方的 性 质 可 知 , 若 f ( s ) 为n 阶 传 递 函 数 , 则 f | ( s ) |平方的 极 点 数 为2n . f | ( s ) |平方的 极 点 与 零 点 均 满 足 象 限 对 称 性 , 其 在 s 域 左 半 平 面 的 零 、 极 点 即 为 函 数 f ( s ) 的 零 、 极 点 . 故 可 由 本 文 算 法 先 拟 合 出 f | ( s ) |平方的 极 点 与 留 数 , 并 籍 此 获 取 零 点 , 然 后 在 取 s 域 左 半 平 面 的 零 、 极 点 作 为 f ( s ) 的 零 、 极 点 , 最 终 获 取 f ( s ) 的 部 分 分 式 表 达 式 . 经 过 拟 合 计 算 , 可 得 到 f ( s ) 的 表 达 式 为

其 幅 频 特 性 与 实 测 数 据 的 比 较 如 图 4 所 示 . 由 图 4 可 见 , 采 用 3 阶 函 数 拟 合 即 可 获 得 较 好 的 等 价 性 , 增 加 阶 数 , 还 可 进 一 步 提 高 拟 合 准 确 度 .

3 结 语

通 过 增 加 一 阶 导 数 信 息 和 对 系 数 矩 阵 进 行 右 乘 对 角 阵 运 算 , 本 文 提 出 了 一 种 改 进 的 复 向 量 拟 合 法 ,仿 真 结 果 和 应 用 表 明 , 该 方 法 可 显 着 提 高 传 递 函 数 的 拟 合 准 确 度 . 但 需 要 指 出 , 随 着 目 标 传 递 函 数 阶 数 的 增 加 , 该 算 法 中 的 方 程 条 件 数 较 之 传 统 复 向 量 拟 合 法 增 加 更 为 明 显 , 因 此 , 当 目 标 传 递 函 数 阶 数 较 高 时 , 该 算 法 较 之 复 向 量 拟 合 法 并 无 优 势 . 采 用 较 高 的 传 递 函 数 拟 合 阶 数 , 会 使 数 字 化 校 正 和 物 理 电 路 实 现 变 得 复 杂 , 实 际 应 用 表 明 , 十 阶 以 下 的 等 效 模 型 , 对 于 一 般 电 磁 场 天 线 的 频 域 特 性 已 经 足 够 , 可 获 得 较 高 的 拟 合 准 确 度 .