0 引言

随着电子技术的快速发展，电子线路设计的集成度和复杂度越来越高，对PCB设计的电源完整性要求也越来越高。目前针对电源完整性问题的研究方法主要有基于目标阻抗的频域方法和基于传输功率的时域方法。文献[1]根据目标阻抗和自谐振点对所需电容器种类和数目进行计算和仿真分析。文献[2]中提出了基于传输功率的研究方法。此外还有其他一些方法，比如在去耦支路引入串联电阻、引入电磁带隙结构等设计高频去耦网络。基于目标阻抗的设计方法已有很多相关论述，而大部分研究的关注点在于容值计算以及去耦特性分析等，较少考虑实际高速高密度PCB设计面临的布局布线资源有限的问题，因此实用性不强。文献[5]将遗传算法应用于去耦电容在PCB上的优化放置，通过优化电容器布局增强去耦效果。文献[6]将遗传算法应用于PDN设计，取得了一定效果。然而标准遗传算法在处理多极值问题时全局收敛性较差，本文采用改进的遗传算法对所需去耦电容器的种类和数目进行优化计算，同时与标准遗传算法和传统设计方法进行对比，并借助Cadence仿真工具验证设计结果的有效性和合理性。

1 电容去耦原理及计算方法

电容去耦原理可以通过图1说明。将图中的稳压电源及去耦电容看作一个复合的电源系统，当负载电流变化很快时，稳压电源不能够及时响应负载变化，此时电容器充当了局部电源，保证负载电压稳定。

从阻抗角度而言，去耦电容降低了电源系统的交流阻抗，由式（1）可以看出负载电流变化时，Z越小，负载电压变化量越小，系统电源越稳定。

实际的电容器模型为RLC串联网络，当信号频率小于谐振频率时呈容性，而在高于谐振频率时呈感性。其简化的数学模型由式（2）表示，其中f0为谐振频率。

传统的设计方法通常是将目标频率范围分段，每个频段对应一种容值的去耦电容，采用多个不同容值的电容器并联组成去耦电容网络，使电源系统满足目标阻抗要求。图2显示了两种不同容值的电容器C1和C2并联的频率响应。

可以看到，在两个电容的自谐振点之间存在一个阻抗尖峰，该点称为反谐振点，由于该频段C1呈现感性，C2呈现容性，实质是LC并联谐振导致。该点阻抗可以由式（3）估算[7]。

其中s=j2πfp，fp为反谐振频率。

传统设计方法通过添加自谐振频率在反谐振点附近的电容来抑制并联谐振，但同时又会引入新的反谐振点，因此需要借助仿真软件反复修改验证，整个过程较为繁琐，并且需要凭借一定的设计经验。

2 基于混合遗传算法优化设计

由于遗传算法本身具有较大的随机性，在针对多峰性质的最优化求解时往往陷入局部极值。本文采用模拟退火与遗传算法相结合的混合遗传算法，将项目自行设计的高速PCB作为测试板，针对1.5 V电源进行电容去耦网络设计。结合分频段设计思想，将目标频率范围进行分段，分别对应一种电容，每种电容器的数目组合构成种群个体。选定的可用电容器种类及参数如表1所示（默认安装电感均为225 pH）。

首先由随机函数产生初始种群，对种群个体进行编码形成染色体。目标函数即为该个体表示的电容器总数目，由式(4)计算得出，其中x(i)为个体所表征的每种电容器数目，N为电容器容值种类。

对种群进行初始化以后，根据特定的适应函数计算个体的适应度（即入选概率），所采用的适应函数和适应度分别由式(5)和式(6)表示。

其中M为种群规模。

值得注意的是，式(5)根据个体是否满足目标阻抗确定相应的适应函数值。下面对具体的验证策略加以说明，图3为4种容值的电容器并联时PDN阻抗示意图，其中虚线为未添加去耦网络的阻抗曲线。

低频段由VRM与体去耦电容C0抑制电源阻抗，高频段由电容并联网络实现低阻抗。fb和fc分别为起始频率和截止频率。对起始频率点，由VRM与体去耦电容器并联，此处以Cadence仿真工具所提供的VRM模型为例，如图4所示，其中Lout和Rout分别是VRM感应点与实际负载之间的输出电感和电阻。

为了保证设计余量，以VRM与体去耦电容器并联谐振阻抗作为该点阻抗值。对截止频率点，此时处于自谐振频率最高的电容器的感性区段，由式(3)估算该点阻抗值。对于反谐振点(图3中fb和fc之间的阻抗尖峰点)，由式(5)计算该点阻抗值。将验证点的阻抗值与目标阻抗比较，确定个体的有效性。

得到初代所有个体的入选概率之后，根据适应值保留最优个体。采用轮盘赌的方式选择亲代个体进行交叉重组。该过程可以采用单点交叉或者多点交叉，交叉点由随机数决定。完成交叉重组后淘汰掉最差个体，加入最优个体补全种群，保留当前最优解。然后对种群所有个体进行swap操作，即对染色体的某两个基因进行互换得到新个体，按照Metropolis准则计算接受概率。Metropolis准则的定义由式(7)所示：

其中P为候选解的接受概率，ΔE为新解与原解目标函数值的差，T为模拟退火的温度参数[8]。

Metropolis准则使得在初始温度较高时能够以较大的概率接受较差解，而且随着温度的降低该接受概率将会逐渐减小。因此该算法更有可能避免陷入局部极小值，从而获得全局最优解。

初始时设定起始温度t0，根据经验公式t0=kδ进行估计，其中δ为目标函数的最大差值，k为一个足够大的系数。在每次循环时模拟物理退火过程，按照tn=λtn-1更新温度参数。当满足终止条件时结束程序，输出最优个体。终止条件设定为最大进化代次和终止温度。

采用MATLAB进行程序设计，初始时指定种群规模和可用电容器种类、编码长度等一系列运算参数。整个算法流程图如图5所示。

设定种群规模为50，可用电容器种类为10，限定电容器总数不超过80个，指定终止温度和进化代数。经过30代进化后，绘制出进化代数与最优结果的进化曲线，如图6所示。

3 设计结果对比分析

为了进行对比分析，采用标准遗传算法设计去耦网络，同样进行30次进化后，最终结果见表2。通常采用Cadence仿真工具进行设计时，一旦选定了足够多可用的电容器种类，仿真工具会提供一个参考的计算结果。该方法快速直接，但通常存在设计冗余，在PCB布局空间有限的情况下完全照搬该结果可能会不现实。表2也列出了Cadence工具的直接计算结果。

可以看到，采用混合遗传算法最终的设计结果比仿真工具的计算结果更加合理，而标准遗传算法在经过相同进化代次后结果存在比较明显的冗余，这也与其全局收敛性差有关。将上述几种去耦网络分别进行仿真，结果如图7所示。

由仿真结果可知，在1 kHz~500 MHz的频率范围内上述结果均满足目标阻抗要求，但采用混合遗传算法（图中实曲线）相比另外两种结果的设计冗余较小，减少了所需元器件数目，在PCB布局空间有限的情况下可以提供有效参考。

4 结论

本文结合基于目标阻抗的传统设计方法，采用混合遗传算法研究去耦电容网络的优化设计问题。结合Cadence仿真工具对设计结果与其他方法进行了对比分析，仿真结果表明该方法所设计的去耦网络有效、可行，避免了实际应用需要反复进行人工优化的繁琐过程，与标准遗传算法以及Cadence工具的计算结果相比减少了设计冗余，节省了PCB布局布线空间，为高频电路的PDN设计提供参考。另外也可以采用其他改进算法进行更多尝试，获得更好的优化效果。