在科学实验与生产实践的过程中，为了获取表征被研究对象的特征的定量信息，必须准确地进行测量。在测量过程中，由于各种原因，测量结果和待测量的客观真值之间总存在一定差别，即测量误差。因此，分析误差产生的原因，如何采取措施减少误差，使测量结果更加准确，对实验人员及科技工作者来说是必须了解和掌握的。

一、 差的来源与分类

1．测量误差的来源

测量误差的来源主要有以下几个方面：

（1） 仪器误差

仪器误差是指测量仪器本身的电气或机械等性能不完善所造成的误差。显然，消除仪器误差的方法是配备性能优良的仪器并定时对测量仪器进行校准。

（2） 使用误差也称操作误差

指测量过程中因操作不当而引起的误差。减小使用误差的办法是测量前详细阅读仪器的使用说明书，严格遵守操作规程，提高实验技巧和对各种仪器和操作能力。

例如：万用表表盘上的符号：⊥；∏；∠60o分别表示万用表垂直位置使用；水平位置使用；与水平面倾斜成60o使用。使用时应按规定放置万用表，否则会带来误差，至于用欧姆档测电阻前不调零所带来的误差，更是显而易见的。

（3） 方法误差又称理论误差

它是指由于使用的测量方法不完善、理论依据不严密、对某些经典测量方法作了不适当的修改简化所产生的，即凡是在测量结果的表达式中没有得到反映的因素，而实际上这些因素在测量过程中又起到一定的作用所引起的误差。例如，用伏安法测电阻时，若直接以电压表示值与电流表示值之比作测量结果，而不计电表本身内阻的影响，就会引起误差。

２．测量误差的分类

测量误差按性质和特点可分为系统误差、随机误差和疏失误差三大类。

（1） 系统误差

是指在相同条件下重复测量同一量时，误差的大小和符号保持不变，或按照一定的规律变化的误差。系统误差一般可通过实验或分析方法，查明其变化规律及产生原因后，可以减少或消除。电子技术实验中系统误差常来源于测量仪器的调整不当和使用方法不当所致。

(2)随机误差（偶然误差）

在相同条件下多次重复测量同一量时，误差大小和符号无规律的变化的误差称为随机误差。随机误差不能用实验方法消除。但从随机误差的统计规律中可了解它的分布特性，并能对其大小及测量结果的可靠性作出估计，或通过多次重复测量，然后取其中算术平均值来达到目的。

(3)粗差

这是一种过失误差。这种误差是由于测量者对仪器不了解、粗心，导致读数不正确而引起的，测量条件的突然变化也会引起粗差。含有粗差的测量值称为坏值或异常值。必须根据统计检验方法的某些准则去判断哪个测量值是坏值，然后去除。

二 、 误差的表示方法

误差可以用绝对误差和相对误差来表示。

1．绝对误差

设被测量量的真值为Ａo，测量仪器的示值为X，则绝对值为

△X＝X－Ａo

在某一时间及空间条件下，被测量量的真值虽然是客观存在的，但一般无法测得，只能尽量逼近它。故常用高一级标准测量仪器的测量值Ａ代替真值Ａo，则

△X＝X－Ａ

在测量前，测量仪器应由高一级标准仪器进行校正，校正量常用修正值C表示。对于被测量量，高一级标准仪器的示值减去测量仪器的示值所得的差值，就是修正值。实际上，修正值就是绝对误差，只是符号相反

C＝－△X＝Ａ－X

利用修正值便可得该仪器所测量的实际值

A＝X＋C

例如，用电压表测量电压时，电压表的示值为1.1V，通过鉴定得出其修正值为－0.01V。则被测电压的真值为

A＝1.1＋（－0.01）＝1.09V

修正值给出的方式可以是曲线、公式或数表。对于自动测验仪器，修正值则预先编制成有关程序，存于仪器中，测量时对误差进行自动修正，所得结果便是实际值。

２．相对误差

绝对误差值的大小往往不能确切地反映出被测量量的准确程度。例如，测100V电压时，△X1＝＋2V，在测10V电压时，△X2＝＝０.5Ｖ，虽然△X1＞△X2，可实际△X1只占被测量量的２％，而△X2却占被测量的5％。显然，后者的误差对测量结果的影响相对较大。因此，工程上常采用相对误差来比较测量结果的准确程度。

相对误差又分为实际相对误差、示值相对误差和引用（或满度）相对误差。

（1）实际相对误差；是用绝对误差△X与被测量的实际值A的比值的百分数来表示的相对误差，记为

（2）示值相对误差；是用绝对误差△X与仪器给出值X的百分数来表示的相对误差，即

（3）引用（或满度）相对误差；是用绝对误差△X与仪器的满刻度值Xm之比的百分数来表示的相对误差，即

电工仪表的准确度等级就是由 决定的，如1.5级的电表，表明≤±1.5％。我国电工仪表按 值共分七级：0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5、5.0。若某仪表的等级是S级，它的满刻度值为Xm，则测量的绝对误差为

△X≤Xm×S％

其示值相对误差为

在上式中，总是满足X≤Xm的，可见当仪表等级S选定后，X愈接近Xm时， 的上限值愈小，测量愈准确。因此，当我们使用这类仪表进行测量时，一般应使被测量的值尽可能在仪表满刻度值的二分之一以上。

二、 测量结果的处理

测量结果通常用数字或图形表示。下面分别进行讨论。

1.测量结果的数据处理

（1）有效数字

由于存在误差，所以测量资料总是近似值，它通常由可靠数字和欠准数字两部分组成。例如，由电流表测得电流为12.6mA，这是个近似数，12是可靠数字，而末位6为欠准数字，即12.6为三位有效数字。有效数字对测量结果的科学表述极为重要。

对有效数字的正确表示，应注意以下几点：

①与计量单位有关的"0"不是有效数字，例如，0.054A与54mA这两种写法均为两位有效数字。

②小数点后面的"0"不能随意省略，例如，18mA与18.00mA是有区别的，前者为两位有效数字，后者则是四位有效数字。

③对后面带"0"的大数目数字，不同写法其有效数字位数是不同的，例如，3000如写成30×10 2，则成为两位有效数字；若写成3×103，则成为一位有效数字；如写成3000±1，就是四位有效数字。

④如已知误差，则有效数字的位数应与误差所在位相一致，即：有效数字的最后一位数应与误差所在位对齐。如；仪表误差为±0.02V，测得数为3.2832V，其结果应写作3.28V。因为小数点后面第二位"8"所在位已经产生了误差，所以从小数点后面第三位开始后面的"32"已经没有意义了，写结果时应舍去。

⑤当给出的误差有单位时，则测量资料的写法应与其一致。如：频率计的测量误差为±数kHz，其测得某信号的的频率为7100kHz，可写成7.100MHz和7100×103Hz，若写成7100000或7.1MHz是不行的。因为后者的有效数字与仪器的测量误差不一致。]

（2）数据舍入规则

为了使正、负舍入误差出现的机会大致相等，现已广泛采用"小于5舍，大于5入，等于5时取偶数"的舍入规则。即

①若保留n位有效数字，当后面的数值小于第n位的0.5单位就舍去；

②若保留n位有效数字，当后面的数值大于第n位的0.5单位就在第n位数字上加1；

③若保留n位有效数字，当后面的数值恰为第n位的0.5单位，则当第n位数字为偶数（0，2，4，6，8）时应舍去后面的数字（即末位不变），当第n位数字为奇数（1，3，5，7，9）时，第n位数字应加1（即将末位凑成为偶数）。这样，由于舍入概率相同，当舍入次数足够多时，舍入的误差就会抵消。同时，这种舍入规则，使有效数字的尾数为偶数的机会增多，能被除尽的机会比奇数多，有利于准确计算。

（3）有效数字的运算规则

当测量结果需要进行中间运算时，有效数字的取舍，原则上取决于参与运算的各数中精度最差的那一项。一般应遵循以下规则：

①当几个近似值进行加、减运算时，在各数中（采用同一计量单位），以小数点后位数最少的那一个数（如无小数点，则为有效位数最少者）为准，其余各数均舍入至比该数多一位后再进行加减运算，结果所保留的小数点后的位数，应与各数中小数点后位数最少者的位数相同。

②进行乘除运算时，在各数中，以有效数字位数最少的那一个数为准，其余各数及积（或商）均舍入至比该因子多一位后进行运算，而与小数点位置无关。运算结果的有效数字的位数应取舍成与运算前有效数字位数最少的因子相同。

③将数平方或开方后，结果可比原数多保留一位。

④用对数进行运算时，n位有效数字的数应该用n位对数表

⑤若计算式中出现如e、π、 等常数时，可根据具体情况来决定它们应取的位数。

2．测量结果的曲线处理

在分析两个（或多个）物理量之间的关系时，用曲线比用数字、公式表示常常更形象和直观。因此，测量结果常要用曲线来表示。在实际测量过程中，由于各种误差的影响，测量数据将出现离散现象，如将测量点直接连接起来，将不是一条光滑的曲线，而是呈折线状。如图1.1.1所示，但我们应用有关误差理论，可以把各种随机因素引起的曲线波动抹平，使其成为一条光滑均匀的曲线，这个过程称为曲线的修匀。

图1.1.1 直线连接测量点时曲线的波动情况 图1.1.2 分组平均法修均曲线

在要求不太高的测量中，常采用一种简便、可行的工程方法--分组平均法来修匀曲线。这种方法是将各测量点分成若干组，每组含2－4个数据点，然后分别估取各组的几何重心，再将这些重心连接起来。图1.1.2就是每组取2－4个数据点进行平均后的修匀曲线。这条曲线，由于进行了测量点的平均，在一定程度上减少了偶然误差的影响，使之较为符合实际情况。